Procesamiento Digital de Señales

El procesamiento digital de señales (PDS), se puede entender como un conjunto de operaciones básicas aplicadas sobre una señal de entrada para obtener una señal de salida, formalmente estas operaciones se describen como transformaciones matemáticas de una señal a otra por una regla predefinida. Con el advenimiento del PDS se han superado ciertas barreras como algunas transformaciones difíciles de realizar o de reproducir. Para su estudio el PDS se puede dividir en:

• La parte conceptual: que involucra los fundamentos del PDS, el estudio, análisis y la generación de nuevos algoritmos.


• La parte algorítmica: que trata con la interpretación y la utilización de los algoritmos existentes, es decir, la proposición de soluciones a problemas concretos. Un algoritmo describe un método mediante el cual se realiza una tarea y consiste en una secuencia de instrucciones que realizadas adecuadamente dan lugar al resultado deseado.


• La implantación de los algoritmos:
  • En esta parte se pueden presentar alternativas de solución como la simulación de los algoritmos a través de lenguajes de alto nivel, la validación y verificación de los algoritmos.
  
  
  • El traslado de los algoritmos a arquitecturas de procesamiento específicas, es decir la utilización de un lenguaje ensamblador para la realización de aplicaciones específicas. Esta etapa involucra la verificación algorítmica-software-hardware de la solución al problema, lo que constituiría un prototipo final.

Elementos Básicos de un Sistema de PDS

Para efectuar el PDS es necesaria una interface entre la señal analógica y el proceso digital, a la vez la señal procesada digitalmente debe convertirse a una señal analógica. El procesamiento digital puede realizarse en una computadora digital, un microprocesador, un microcontrolador o un procesador digital de señales cuyo programa efectúa las operaciones deseadas sobre la señal de entrada como se muestra en la figura de abajo.

Sistema general de PDS

Ventajas y Desventajas del PDS

• La programación de un sistema digital permite más Flexibilidad en la reconfiguración del sistema, simplemente un cambio del programa permite cambiar el algoritmo o la aplicación. En un sistema analógico su reconfiguración implica un rediseño del hardware, prueba y verificación.


• En comunicaciones digitales las señales pueden codificarse para obtener índices de error muy bajos y alta fidelidad.


• EL PDS provee un mejor control de los requerimientos de precisión. Debido a la tolerancia de los circuitos analógicos es muy difícil el control de precisión, implica que los circuitos digitales son más inmunes al ruido.


• Una señal digital es muy fácil almacenarla sin deterioro o pérdida de fidelidad más allá de las introducidas por la conversión A/D. Las señales así almacenadas son fácilmente transportables para ser analizadas y/o procesadas remotamente.


• Facilidad de multiplexaje de varias señales digitales.


• Las señales digitales al transmitirse, los repetidores regenerativos pueden detectar los niveles digitales y retrasmitirlos evitando acumulación de ruido a lo largo de la ruta, esto no es posible en comunicaciones analógicas.


• Una limitación del PDS es la velocidad de operación de un convertidor A/D. Las señales con un gran ancho de banda requieren velocidades de muestreo y conversión muy altas, para las cuales el PDS va más allá del alcance del estado del arte del hardware digital. Sin embargo, con el avance tecnológico actual, esta limitante puede superarse en un mediano plazo.


• El PDS requieren de interfaces con el mundo físico, por lo que es necesario utilizar dispositivos analógicos en las entradas y en las salidas.

Un ejemplo concreto de PDS lo podemos apreciar en la figura 1.2, donde se tiene una señal de Electrocardiograma (ECG) contaminada con ruido de 60 Hertz de la corriente eléctrica, como se observa en la gráfica 1.2.a la señal de ECG es totalmente imperceptible, en la gráfica 1.2.b

¿Qué es una Señal?

Una señal se puede considerar como la manifestación de un fenómeno físico, una variable o una cantidad física que provee información sobre el estado o evolución de un sistema o fenómeno^ref.. La variable física puede ser función del tiempo, el espacio o cualquier otra variable o variables.

El ser humano siempre ha tenido la intuición de comprender y representar los fenómenos a través de abstracciones que faciliten la comprensión y el estudio de tales fenómenos. Para su análisis formal una señal se representa de varias formas:

• Descriptivo
• Hablado
• Escrito


• Esquemático
• Dibujos
• Diagramas
• Bocetos


• Tabular
• Almacenamiento de datos y medidas


• Gráfico
• Graficación de datos


• Funciones matemáticas
• Funciones de una o varias variables: $f(x,y,z,t)$

Clasificación General

Señal Continua

Las señales continuas están definidas para cualquier valor del dominio de los números reales y toman valores en un intervalo continuo, matemáticamente se representan como funciones de variable continua. A este tipo de señal también se le suele llamar analógica y son las que se presentan en el mundo real.

Señal Discreta

Está definida sólo para ciertos puntos del dominio de los reales, comúnmente se utiliza el dominio de los enteros, donde estos puntos no necesitan ser equidistantes. Este tipo de señales se presenta por secuencias de números, secuencias discretas o tablas de datos.

Clasificación por su Descripción Matemática

Señales Aleatorias

Se caracterizan porque sus valores en cada instante de tiempo no son predecibles. Las señales aleatorias son producidas por los fenómenos naturales tales como las ondas oceánicas, las ondas sísmicas, etc. Estas señales se pueden caracterizar por funciones de densidad de probabilidad, valores esperados, variancias y funciones de correlación. Para su análisis y descripción se utilizan técnicas estadísticas, teoría de probabilidad y procesos estocásticos en vez de fórmulas explícitas.

Señales Periódicas

Se dice que una señal continua $f(t)$ es periódica si existe una constante $T$ que cumple con la propiedad de que $f(t) = f(t+nT)$ para toda $t$. Donde $T$ es el menor número para el que se cumple esta identidad, entonces $T$ es el período de la función.

Señal Senoidal o Cosenoidal

Es una oscilación armónica simple descrita matemáticamente por $x(t) = A sen(\omega t + \beta)$ y está completamente determinada por su amplitud $A$, su frecuencia angular $\omega$ y el ángulo de fase $\beta$.

Las funciones sinusoidales son de gran importancia, ya que de la teoría de Fourier, una función periódica se puede expresar como una suma de funciones senoidales y cosenoidales dada por la serie de Fourier.

Serie Trigonométrica de Fourier

Si $f(t)$ es una función periódica con período $T$, $f(t)$ se puede expresar como la serie

\begin{equation} f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n cos \omega_0 nt + b_n sen \omega_0 nt ) \end{equation}

donde :

$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$ y $f_o =\frac{1}{T}$
$\omega_0$ es la frecuencia fundamental de $f(t)$

\begin{equation} a_0 = \frac{2}{T} \int_T f(t) dt \end{equation} \begin{equation} a_n = \frac{2}{T} \int_T f(t) cos (\omega_0 nt) dt \end{equation} \begin{equation} b_n = \frac{2}{T} \int_T f(t) sen (\omega_0 nt) dt \end{equation}

Serie Exponencial de Fourier

Si la función $f(t)$ es periódica con período $T$, se puede expresar como una suma de términos exponenciales dados por: \begin{equation} f(t) = \sum_{n=\infty}^\infty C_n e^{jn\omega_0t } \end{equation} $ Cn$: son los coeficientes de la serie dados por dados por: \begin{equation} C_n = \frac{2}{T} \int_T f(t) e^{-j (\omega_0 nt)} dt \end{equation}

Transformada de fourier

Para el cáculo del espectro de señales continuas y determinísticas, se utiliza la transformada de Fourier definida por: \begin{equation} F(t) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-jn\omega t } dt \end{equation} Con transformada inversa \begin{equation} f(t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(t) e^{jn\omega t } dt \end{equation}