FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
DEPARTAMENTO DE CÁLCULO
Programa de la Asignatura: CÁLCULO I
Clave: 1104 Número de créditos: 09
Carrera: ICi, ICo, IEe, IGf, IGl, IIn, IMe, IMm, IPe, ITg ,ITc
Duración del curso:
Semanas: 16
Horas: 72
Semestre: 1º
Horas a la semana:
Teoría: 4.5 Obligatoria: SI
Prácticas: 0.0 Optativa:
OBJETIVO :
El alumno aplicará los conceptos fundamentales del Cálculo
Diferencial de funciones reales de variable real, en la formulación
y manejo de modelos matemáticos de problemas físicos y geométricos.
TEMAS
Núm. Nombre Horas
I FUNCIONES 13.5
II LIMITES Y CONTINUIDAD 15.0
III LA DERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES 19.5
IV VARIACION DE FUNCIONES 9.0
V SUCESIONES Y SERIES 15.0
TOTAL DE HORAS 72.0
ASIGNATURAS CONSECUENTES OBLIGATORIAS :
CÁLCULO II
CÁLCULO III
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
ECUACIONES DIFERENCIALES
ANTECEDENTES, OBJETIVOS Y CONTENIDOS DE LOS TEMAS
I. FUNCIONES.
OBJETIVO:
El alumno conocerá el concepto de función y las características
principales de las funciones y será capaz de aplicarlos en la
formulación y manejo de modelos matemáticos.
CONTENIDO:
I.1 Definición de función real de variable real y su
representación gráfica. Definiciones de dominio, codominio
y recorrido. Notación funcional. Funciones: constante,
identidad, valor absoluto, escalonada y parte entera.
I.2 Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas.
I.3 Igualdad de funciones. Operaciones con funciones. Composición.
Función inversa.
I.4 Clasificación de funciones según su expresión: implícitas,
explícitas y paramétricas.
I.5 Funciones polinomiales, algebraicas y trascendentes. Funciones
pares e impares. Funciones circulares directas e inversas;
representación gráfica.
I.6 Formulación de funciones como modelos matemáticos de problemas
físicos y geométricos.
II. LIMITES Y CONTINUIDAD.
OBJETIVO:
El alumno aplicará el concepto de límite para calcular el límite de
una función y para investigar su continuidad.
CONTENIDO:
II.1 Concepto de entorno. Límite de una función en un punto.
Interpretación geométrica.
II.2 Existencia del límite de una función. Límites de las
funciones constante e identidad y demostración de su
existencia. Enunciados de teoremas sobre límites.
Formas determinada e indeterminada. Cálculo de límites.
II.3 Definición de límite de una función cuando la variable
independiente tiende al infinito.
Cálculo de límites de funciones racionales cuando la variable
tiende al infinito.
II.4 Obtención del límite de sen x, cos x y (sen x)/x cuando x
tiende a cero. Obtención del número "e". Cálculo de límites
de funciones trascendentes.
II.5 Concepto de continuidad. Límites laterales. Definición y
determinación de la continuidad de una función en un punto
y en un intervalo. Enunciados de los teoremas sobre conti-
nuidad. Continuidad a través de los incrementos de las
variables dependiente e independiente.
II.6 Asíntotas verticales y horizontales.
III. LA DERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES.
OBJETIVO:
El alumno será capaz de resolver problemas que requieran del
concepto de la derivada y de sus interpretaciones geométrica
o física, en su resolución.
CONTENIDO:
III.1 Definición de la derivada de una función en un punto.
Interpretaciones física y geométrica. Notaciones y
cálculo a partir de la definición. Función derivada.
III.2 Derivación de la suma, producto y cociente de funciones.
Derivación de una función elevada a un exponente racional.
III.3 Derivación de la función compuesta. Regla de la Cadena.
Derivación de la función inversa.
III.4 Derivación de las funciones circulares directas e inversas.
III.5 Definición de derivadas laterales. Relación entre deriva-
bilidad y continuidad.
III.6 Derivación de funciones expresadas en las formas implícita
y paramétrica.
III.7 Definición, cálculo e interpretación geométrica de derivadas
de orden superior.
III.8 Aplicaciones geométricas de la derivada: dirección de una
curva, ecuaciones de la tangente y la normal, ángulo de
intersección entre curvas, curvatura, centro y radio de
curvatura en coordenadas cartesianas, polares y con
ecuaciones paramétricas.
III.9 Aplicación física de la derivada como razón de cambio de
variables relacionadas.
III.10 Conceptos de función diferenciable y de diferencial, e
interpretación geométrica. La derivada como cociente de
diferenciales. Permanencia de la forma de la diferencial
para una función de función. Diferenciales de orden superior.
III.11 Diferencial de arco en coordenadas cartesianas y polares.
III.12 Valores aproximados y errores a través de la diferencial.
IV. VARIACION DE FUNCIONES.
OBJETIVO:
El alumno será capaz de realizar el análisis de la variación de
funciones y aplicarlo en la resolución de problemas físicos y
geométricos, especialmente en aquellos que se refieran a una
optimación.
CONTENIDO:
IV.1 Enunciado e interpretación geométrica del teorema de
Weierstrass. Enunciado, demostración e interpretación
geométrica del teorema de Rolle y del teorema del Valor
Medio del Cálculo Diferencial. Enunciado e interpretación
geométrica del teorema de Cauchy.
IV.2 Funciones crecientes y decrecientes y su relación con el
signo de la derivada.
IV.3 Máximos y mínimos relativos y absolutos. Criterio de la
primera derivada. Concavidad y puntos de inflexión. Criterio
de la segunda derivada. Problemas de aplicación.
IV.4 Análisis de la variación de una función.
V SUCESIONES Y SERIES
OBJETIVO:
El alumno conocerá los conceptos fundamentales del álgebra de las
sucesiones y de las series, así como las propiedades para determinar
su carácter, y los utilizará para representar funciones por medio
del desarrollo en series de potencias.
CONTENIDO:
V.1 Definición de sucesión. Límite y convergencia de una sucesión.
Sucesiones monótonas y acotadas.
V.2 Definición de serie. Convergencia de una serie. Propiedades y
condiciones para la convergencia. Definición y propiedades
de las operaciones con series: adición y multiplicación por
un escalar.
V.3 Serie geométrica y serie "p".
V.4 Series de términos positivos. Criterios de comparación y del
cociente.
V.5 Series de signos alternados. Criterio de Leibniz. Convergencias
absoluta y condicional.
V.6 Series de potencias de "x-a". Radio e intervalo de convergencia.
V.7 Desarrollo de funciones en series de potencias. Serie de Taylor
y desarrollo de funciones trigonométricas.
TÉCNICAS DE ENSEÑANZA: ELEMENTOS DE EVALUACIÓN:
Exposición oral (X) Exámenes parciales (X)
Exposición audiovisual (X) Exámenes finales (X)
Ejercicios dentro de clase (X) Trabajos y tareas fuera del aula (X)
Ejercicios fuera del aula (X) Participación en clase ( )
Seminarios ( ) Asistencia a prácticas ( )
Lecturas obligatorias (X) OTROS:
Trabajos de investigación (X)
Prácticas de taller o laboratorio.( )
Prácticas de campo ( )
Texto Temas de la asignatura para los que se recomienda:
LIBROS DE TEXTO
ANDRADE D., Arnulfo et al. I, II, III y IV
“Cálculo Diferencial e Integral”
Limusa - Facultad de Ingeniería
México, 1992
LARSON, Ronald E. y HOSTETLER, Robert P. TODOS
“Cálculo y Geometría Analítica”
McGraw Hill, 3a. edición
México, 1989
SOLAR G., Eduardo y SPEZIALE de G., Leda V
“Algebra I”
Limusa - Facultad de Ingeniería
México, 1985
LIBROS DE CONSULTA
LEITHOLD, Louis TODOS
“El Cálculo con Geometría Analítica”
Harper and Row Latinoamericana, 6a. edición
México, 1992
SWOKOWSKI, Earl W. TODOS
“Cálculo con Geometria Analítica”
Grupo Editorial Iberoamérica.
México, 1989
SPIVAK, Michael TODOS
“Calculo Infinitesimal”
Reverté
México, 1978